Книги-online
Интегральные уравнения.
|
|
| И в библиотеке бывают рекламные паузы. |
Интегральные уравнения.
Введение.
Интегральными уравнениями называются функциональные уравнения, содержащие интегральные преобразования над неизвестной функцией y(x). Интегральное уравнение называется однородным, если ay(x) есть решение уравнения для произвольного a. Линейное интегральное уравнение в общем виде может быть представлено:
где k(x,s)- ядро интегрального преобразования, правая часть f(x) и g(x) являются заданными функциями, a - параметр уравнения. Область интегрирования V может быть фиксированной (интегральные уравнения типа фредгольмовых) или переменной (интегралные уравнения типа вольтерровых).
Линейное интегральное уравнение первого рода получается при g(x)=0, a=-1 и имеет вид:
Однородное линейное интегральное уравнение второго рода получается при f(x)=0,g(x)=1 и имеет вид:
Неоднородное интегральное уравнение второго рода получается при g(x)=1 и имеет вид
Уравнения вида
являются неоднородными.
Наверх
Линейное уравнение Вольтерра второго рода.
Линейное интегральное уравнение Вольтера второго рода имеет вид:
Причем независимые переменные x,s изменяются на промежутке [a,b], ядро k(x,s) непрерывно внутри и на сторонах треугольника, ограниченного прямыми s=a,x=b,x=s. Функция f(x) на [a,b] непрерывна.
Уравнение данного типа решается с помощью метода квадратурных формул, суть которого состоит в замене интегрального уравнения апроксимирующей системой алгебраических уравнений относительно дискретных значений искомой функции и решении этой системы. В основе такой замены лежит приблежение интеграла квадратурными формулами. Применение формулы трапеций с постоянным шагои h приводит к рекурентной формуле:
где i=2,3,...,1+(b-a)/h, xi=a+(i-1)/h, Aj=1 при j > 1 и Aj=0.5 при j=1.
Наверх
Уравнение Вольтерра первого рода.
Линейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода имеет вид:
Если k(a,a) не равно 0, f(a)=0 и если функции f(x),k(x,s) имеют производные f'(x),k'x(x,s), непрерывные в интервале (a,b), заключенном в интервале интегрирования, внутри которого k(x,s) не обращается в нуль, то уравнение Вольтерра первого рода допускает в интервале (a,b) непрерывное и единственное решение.
Представленная процедура решает уравнение методом квадратурных формул. Вычисление интеграла производится по формуле трапеций с постоянным шагом h:
где xi=a+(i-1)h, i=2,3,..., Aj=1 при j > 1 и Aj=0.5 при j=1.
Наверх
Уравнение Фредгольма второго рода.
Линейное интегральное неоднородное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид:
где ядро определено в квадрате V=[a,b]*[a,b]. Кроме того, полагается, что ядро непрерывно в V. При
=1, используя квадратурную формулу трапеций с постоянным шагом h, получим:
где n=(b-a)/h+1 - целое, Aj=1 при j не равном 1 или n и Aj=0.5 при j=1 или n.
В процедуре используется переменная S. S=0, если полученная система алгебраических уравнений не определена и численное решение уравнения не найдено. S=1, тогда численное решение содержится в массиве y.
Наверх
