Книги-online

Операции над полиномами.

И в библиотеке бывают рекламные паузы.

Операции над полиномами.

• Вычисление значения полинома от заданного аргумента. 
• Умножение полиномов. 
• Деление с остатком. 
• Коэффициенты полинома при линейном преобразовании аргумента. 
• Коэффициенты полинома по заданным вещественным корням. 
• Вычисление коэффициентов полинома обратного заданному. 

Вычисление значения полинома от заданного аргумента. 

Функция вычисляет значение полинома P(x)=p0+p1x+. . . +pnxn в точке x0 по схеме Горнера. Т.е. используя формулу:

	P(x)=(..(pnx0+pn-1)x0+. . . +p1)x0+p0

Наверх

Умножение полиномов. 

Процедура находит коэффициенты полинома полученного в результате перемножения двух полиномов:

	Q(x)=q0+q1x+. . . +qmxm,
	P(x)=p0+p1x+. . . +pnxn,
	H(x)=P(x)Q(x)=h0+h1x+. . . +hn+mxn+m

Процедура по известным значениям pi и qi вычисляет значения hi. Надо заметить, что алгоритм усложняется, т.к. не известно можно ли использовать переменные массивов p,q с номерами большими n,m, если же положить их равными 0, то можно использовать алгоритм перемножения рядов положив в нем n=n+m. Наверх

Деление с остатком. 

Пусть заданы два полинома:

	Q(x)=q0+q1x+. . . +qmxm,Q(x)0,
	P(x)=p0+p1x+. . . +pnxn.

Алгоритм осуществляет поиск коэфициентов полиномов

	H(x)=h0+h1x+. . . +hn-mxn-m,
	R(x)=r0+r1x+. . . +rkxk, k < m 

удовлетворяющих соотношению:

	P(x)=Q(x)H(x)+R(x)

При этом предполагаем, что pn,qm не равны 0. Переменная k на выходе из процедуры содержит значение степени полинома R(x), если k=-1 значит полином Q(x) делитель полинома P(x). Наверх

Коэффициенты полинома при линейном преобразовании аргумента. 

Если в полиноме n -й степени

	P(x)=c0+c1x+ . . .+cnxn

аргумент x заменить на x=at+b, то получим полином

	P(at+b)=c0+c1(at+b)+. . .+cn(at+b)n=d0+d1t+. . .+dntn

где

Процедура вычисляет коэффициенты di Наверх

Коэффициенты полинома по заданным вещественным корням. 

Алгоритм вычисляет коэффициенты полинома по заданным вещественным корням. Работа алгоритма сводиться к последовательному умножению текущего полинома на (x-xk), где xk - k-й корень.

На вход подается массив P[1..n] - корней полинома, на выходе получаем массив A[0..n] - коэффициентов полинома A(x)=a0+a1x+...+anxn Наверх

Вычисление коэффициентов полинома обратного заданному. 

Алгоритм для полинома A(x)=a0+a1x+...+anxn находит m- первых коэффициентов обратного полинома:

	B(x)=1/A(x)=x-k (b0+b1x+...+bmxm+...)

здесь k - количество первых нулевых коэффициентов полинома A(x).

Коэффициенты bj ищутся по формулам:

	b0=1/a0;
	bj=-b0(a1bj-1+...+ajb0), j=1..n
	bj=-b0(a1bj-1+...+anbj-n), j=n+1,n+2,...

На вход алгоритма подаются переменные n,m соответственно степень полинома A и количество коэффициентов полинома B, которые необходимо вычислить, а так же массив a[0..n] - содержащий коэффициенты исходного полинома. На выходе получаем переменную k, и массив b[0..m] - коэффициенты полинома b. Наверх